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name: sympy description: "SymPy 是一个 Python 符号数学库，能够使用数学符号进行精确计算，而非数值近似。" license: https://github.com/sympy/sympy/blob/master/LICENSE metadata: skill-author: K-Dense Inc. risk: unknown source: "https://github.com/sympy/sympy"

SymPy - Python 符号数学

概述

SymPy 是一个 Python 符号数学库，能够使用数学符号进行精确计算，而非数值近似。本技能提供使用 SymPy 进行符号代数、微积分、线性代数、方程求解、物理计算和代码生成的全面指导。

何时使用此技能

在以下情况使用此技能：

• 符号求解方程（代数方程、微分方程、方程组）
• 执行微积分运算（导数、积分、极限、级数）
• 操作和化简代数表达式
• 符号化处理矩阵和线性代数
• 进行物理计算（力学、量子力学、向量分析）
• 数论计算（素数、因式分解、模运算）
• 几何计算（2D/3D 几何、解析几何）
• 将数学表达式转换为可执行代码（Python、C、Fortran）
• 生成 LaTeX 或其他格式化数学输出
• 需要精确数学结果时（例如 sqrt(2) 而非 1.414...）

核心能力

1. 符号计算基础

创建符号和表达式：

from sympy import symbols, Symbol
x, y, z = symbols('x y z')
expr = x**2 + 2*x + 1

# 带假设条件
x = symbols('x', real=True, positive=True)
n = symbols('n', integer=True)

化简和操作：

from sympy import simplify, expand, factor, cancel
simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2)  # 返回 1
expand((x + 1)**3)  # x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1
factor(x**2 - 1)    # (x - 1)*(x + 1)

详细基础内容： 参见 references/core-capabilities.md

2. 微积分

导数：

from sympy import diff
diff(x**2, x)        # 2*x
diff(x**4, x, 3)     # 24*x（三阶导数）
diff(x**2*y**3, x, y)  # 6*x*y**2（偏导数）

积分：

from sympy import integrate, oo
integrate(x**2, x)              # x**3/3（不定积分）
integrate(x**2, (x, 0, 1))      # 1/3（定积分）
integrate(exp(-x), (x, 0, oo))  # 1（广义积分）

极限和级数：

from sympy import limit, series
limit(sin(x)/x, x, 0)  # 1
series(exp(x), x, 0, 6)  # 1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)

详细微积分运算： 参见 references/core-capabilities.md

3. 方程求解

代数方程：

from sympy import solveset, solve, Eq
solveset(x**2 - 4, x)  # {-2, 2}
solve(Eq(x**2, 4), x)  # [-2, 2]

方程组：

from sympy import linsolve, nonlinsolve
linsolve([x + y - 2, x - y], x, y)  # {(1, 1)}（线性）
nonlinsolve([x**2 + y - 2, x + y**2 - 3], x, y)  # （非线性）

微分方程：

from sympy import Function, dsolve, Derivative
f = symbols('f', cls=Function)
dsolve(Derivative(f(x), x) - f(x), f(x))  # Eq(f(x), C1*exp(x))

详细求解方法： 参见 references/core-capabilities.md

4. 矩阵和线性代数

矩阵创建和运算：

from sympy import Matrix, eye, zeros
M = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
M_inv = M**-1  # 逆矩阵
M.det()        # 行列式
M.T            # 转置

特征值和特征向量：

eigenvals = M.eigenvals()  # {特征值: 重数}
eigenvects = M.eigenvects()  # [(特征值, 重数, [特征向量])]
P, D = M.diagonalize()  # M = P*D*P^-1

求解线性方程组：

A = Matrix([[1, 2], [3, 4]])
b = Matrix([5, 6])
x = A.solve(b)  # 求解 Ax = b

全面线性代数： 参见 references/matrices-linear-algebra.md

5. 物理和力学

经典力学：

from sympy.physics.mechanics import dynamicsymbols, LagrangesMethod
from sympy import symbols

# 定义系统
q = dynamicsymbols('q')
m, g, l = symbols('m g l')

# 拉格朗日量 (T - V)
L = m*(l*q.diff())**2/2 - m*g*l*(1 - cos(q))

# 应用拉格朗日方法
LM = LagrangesMethod(L, [q])

向量分析：

from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, dot, cross
N = ReferenceFrame('N')
v1 = 3*N.x + 4*N.y
v2 = 1*N.x + 2*N.z
dot(v1, v2)  # 点积
cross(v1, v2)  # 叉积

量子力学：

from sympy.physics.quantum import Ket, Bra, Commutator
psi = Ket('psi')
A = Operator('A')
comm = Commutator(A, B).doit()

详细物理能力： 参见 references/physics-mechanics.md

6. 高等数学

本技能包含以下全面支持：

• 几何： 2D/3D 解析几何、点、线、圆、多边形、变换
• 数论： 素数、因式分解、最大公约数/最小公倍数、模运算
• 代码生成： 将表达式转换为 Python、C、Fortran 代码
• LaTeX 输出： 生成格式化数学表达式